教師用「波の反射の作図法」
波の反射の作図の手順
１図をもとにした波の反射波の波面を描く手順を解説して
みよう。その手順を２図に説明する。
２図において境界面ＸＹ上で入射波の波面のあたる位置を
Ａ､Ｂ′とする。また、入射波の進行方向をＯＡ、反射波の進行方向をＡＺとする。
さらに、Ｂ′よりＯＡ、ＡＺに平行な線分を引き、それぞれＯ′Ｂ′、Ｂ′Ｚ′とする。
今、Ａを中心とした半径Ｂ′Ｂの半円を描く。Ｂ′から
この半円に接する線分Ｂ′Ａ′は、入射波の波面がＸＹ面で反射したときに出た
素元波群への接線すなわち、反射後の波面の一つを表してい
る。波面Ａ′Ｂ′に直交する方向すなわちＡＺ、Ｂ′Ｚ′が反射後の
波面の進行方向になる。
入射波が境界線ＸＹに到達する位置（たとえば点Ｂ′、点Ａなど）
からそれぞれＢ′Ａ′に平行な線を引くと、３図のように反射波の波面が描ける。
なお、入射波の波面はＯＡ方向に時々刻々、連続的に移動するが、入射波の波面の進行の、
周期の整数倍後の瞬間の図と考えれば３図のように描くのが自然であろう。
(波の反射の作図は以上)
考察
２図をもとに反射の法則(入射角ｉ＝反射角ｊ)を証明してみよう。
Ａ点において、ＸＹに垂直な線（法線ＡＣ）を引き、Ａ点での
入射角∠ＯＡＣをｉ、Ａ点での反射角∠ＺＡＣをｊとすると、
△ＢＡＢ′と△Ａ′Ｂ′Ａは合同である。
∵Ｂ′Ｂ＝ＡＡ′、 ＡＢ′は共通、∠ＡＢＢ′＝∠Ｂ′Ａ′Ａ＝∠Ｒ 故に
∠ＢＡＢ′ ＝∠Ａ′Ｂ′Ａ・・・・・・・(1)
また、ｉ＋∠ＣＡＢ＝∠Ｒ、∠ＣＡＢ＋∠ＢＡＢ′＝∠Ｒより
ｉ＝∠ＢＡＢ′・・・・・・・ (2)
一方、△ＡＡ′Ｃ∽△Ｂ′ＡＣ
∵∠ＡＡ′Ｃ＝∠Ｂ′ＡＣ＝∠Ｒ、 ∠ＡＣＡ′＝∠Ｂ′ＣＡ
ゆえに∠ＣＡＡ′＝∠ＣＢ′Ａ
すなわち ｊ＝∠ＣＢ′Ａ＝∠Ａ′Ｂ′Ａ・・・・(3)
(1)、(2)、(3)よりｉ＝ｊが導かれる。
(証明終わり)
教師用「波の屈折の作図法」
波の屈折の作図の手順
４図をもとにした波の屈折波の波面を描く手順を解説してみよう。 その手順を５図に説明する。
５図において境界面ＸＹ上で入射波の波面のあたる位置をＡ､Ｅ､Ｄとする。
媒質１、２での波の速さをそれぞれｖ１、ｖ２、波の波長をそれぞれλ１、λ２とする。５図では波の波面が１秒間にｖ１＝２λ１、ｖ２＝２λ２進むものとした。５図のようにＡ点を中心とした半径２λ２の半円を描く。Ｅからこの半円に接する線分ＥＦ(Ｆは接点)は、入射波の波面がＸＹ面で屈折したときに出た素元波群への接線・・・すなわち、屈折後の波面の一つを表している。５図のように、Ｄから線分ＥＦに平行線を引いてＡＦの延長線との交わりをＣ点とする。
入射波が境界面ＸＹに到達する位置(たとえば点Ａ、点Ｅ、点Ｄ)
からそれぞれＤＣに平行な線を引くと５図のように屈折波の波面が描ける。
また、５図のようにＢ､Ａ′､Ｇをとり、Ａ点での入射角をｉ、屈折角をｒとし、また法線をＡＺ、ＡＺ′とする。
水深の深い媒質１から水深の浅い媒質２に波面が進むとき、波の進行方向は５図のようになり、Ａ点での屈折角ｒは、入射角ｉより小さくなる。媒質１、２での波の速さの違いによって結果としてこの５図のように入射角ｉに対して屈折角ｒになる方向に波の屈折波が進行する。
なお、入射波の波面はＧＡ方向に時々刻々、連続的に移動するが、入射波の波面の進行の、周期の整数倍後の瞬間の図と考えれば５図のように描くのが自然であろう。 (波の屈折の作図は以上)
考察
次に５図をもとに媒質１に対する媒質２の屈折率ｎ１２をｖ１、ｖ２やλ１､λ２で表してみよう。
波面ＡＢの波において、Ｂ点が１秒間にＢからＤへ進む間にＡ点はＣ点まで進む。
また、∠ＢＡＤ＝ｉ
なぜならば ｉ＋∠ＺＡＢ＝∠Ｒ、 ∠ＺＡＢ＋∠ＢＡＤ＝∠Ｒ
一方、∠ＡＤＣ＝ｒ
なぜならば ｒ＋∠ＣＡＤ＝∠Ｒ、 ∠ＣＡＤ＋∠ＡＤＣ＝∠Ｒ
である。
また、振動数ｆ(この図では媒質１や２のある点、たとえばＡ点を１秒間に通過する波の数)が変わらないことから、
屈折の法則は
と表せる。
